几何通解

一卷。清梅文鼎(详见《历算全书》)撰。欧几里得《几何原本》经徐光启、利玛窦译出前六卷之后，立即引起了梅文鼎的兴趣，梅文鼎认为我国传统的勾股算术和由西洋传入的《几何原本》形式上虽不相同，但理论可以会通。在梅氏《勿庵历算书记》中他指出：“几何不言勾股，然其理并勾股也。〔此言勾股西谓直角三边形，译书时未能会通，遂分途径〕。故其最难通者以勾股释之则明。”《几何通解》就是为达“以勾股释之”而作，他依据勾股算术证明了《几何原本》卷二至卷六中的许多命题。例如卷三第三十五题论证：圆内二弦AB、CD交于E，则AE·EB=CE·ED。梅文鼎以勾股术证明如下(译成今文)：过圆心O作直径MN垂直于AB，交AB于F。联OA线，OFA勾股形以OF为勾，OA为弦，FA为股，则FN=OA－OF为勾弦较(差)；MF=OA+OF为勾弦和。因勾弦较与勾弦和乘积为股平方，故得MF·FN=AF·FB。又设弦CD与AB交于E。作OK垂直于CD。联OC线。因CE·ED=(CK+KE)(CK－KE)=CK²－KE²，故CK²=CE·ED+KE²，OC²=CE·ED+KE²+OK2，OC²=CE·ED+OF²+FE²，CE·ED=OA²－OF²－FE²，CE·ED=AF²－FE²，CE·ED=AE·EB。欧几里得在证此题时，用到了勾股定理，而且证明过程不比梅文鼎简单。对于黄金分割线段，梅文鼎认为：“唯理分中末线似与勾股异源，今为游心于立法之初，而仍出于勾股。信古九章之义包举无方。”这是《几何原本》卷四第十题。设有线段AB，分割于C有AC∶CB=CB∶AB或者AC·AB=CB²。梅文鼎认为：假如AC为勾股较，AB为勾弦和，CB为股，则AB分成中外比，但那个股CB必须是勾弦和AB与勾弦较AC之差等于勾的二倍。因此，他作出一勾股形，使它的勾为股的一半，那么，这个勾股形的勾弦和等于勾弦较加股，勾弦和就分成中外比。如以股为全线，则勾弦较为中外比的大分，弦和较为中外比的小分。在《几何补编》中梅文鼎还给出了理分中末比例在正多面体中的一个应用。这些说明了梅文鼎对于西学知识并非盲目全盘接受，而是有分析、有理解、认真消化、阐发应用，《几何通解》在此树立了样板。《几何通解》版本有《梅氏历算全书》本，《梅氏丛书辑要》本，在北京图书馆、浙江图书馆、中科院自然科学史研究所有藏。另有《中西算学汇通》本，现藏当代中算史家钱宝琮处。